Geometría (Euclides, El libro de los Elementos)

Mientras Euclides busca axiomatizar la geometría, Russell emprende una tarea aún más ambiciosa: axiomatizar toda la matemática. Ambos se basan en la idea de que verdades complejas pueden derivarse deductivamente de un conjunto mínimo de premisas, pero Russell lo lleva a un nivel metamatemático, explorando los fundamentos lógicos de lo que Euclides simplemente asumió como base.

La 'Critica' de Kant es una investigación profunda sobre la naturaleza y los límites del conocimiento, incluyendo el conocimiento geométrico. Kant argumenta que la geometría es una ciencia sintética a priori, es decir, sus verdades son necesarias y universales (como los axiomas de Euclides) pero no meramente analíticas. Esta es una conexión inesperada, ya que Kant no es matemático, pero su filosofía examina cómo es posible la 'verdad' de la que la Geometría es un ejemplo paradigmático.

Al igual que Euclides sentó las bases axiomáticas para la geometría, Newton hizo lo mismo para la física clásica. Ambos libros emplean un enfoque deductivo riguroso, partiendo de definiciones y axiomas para construir un sistema complejo de conocimiento, demostrando cómo principios fundamentales pueden explicar fenómenos observables y predicho.

Descartes era un admirador de la firmeza y certeza de las matemáticas (particularmente la geometría euclidiana) y buscó aplicar su método a la filosofía. Ambos comparten una búsqueda fundamental de la verdad a través de la razón y la deducción, partiendo de premisas indudables para llegar a conclusiones ciertas, aunque Descartes aplica esto a la epistemología y no solo a la materia.

Si bien Euclides es el paradigma de la ciencia deductiva, Kuhn profundiza en cómo esos paradigmas se forman, cómo se mantienen y cómo son desafiados. Aunque no habla directamente de Euclides, su obra ofrece un marco para entender por qué los 'Elementos' se convirtieron en un pilar incuestionable por milenios y cómo una revolución (como la de las geometrías no euclidianas) eventualmente cambiaría el paradigma.

Aunque no se enfoca en Euclides directamente, el libro de Toeplitz explora la genealogía de conceptos matemáticos fundamentales de la misma manera que Euclides presentó una estructura fundamental para la geometría. Permite entender el contexto y la evolución de los cimientos matemáticos, siendo un perfecto complemento 'histórico' y 'conceptual' a los 'Elementos'.

Así como Euclides construyó la geometría a partir de un conjunto mínimo de axiomas y definiciones, Frege intenta hacer lo mismo para la aritmética. Ambos se basan en una estructura deductiva rigurosa, donde cada proposición se demuestra a partir de las anteriores, aunque Frege se enfoca en la lógica subyacente a los cimientos de los números.

El 'Tractatus' está estructurado de manera axiomática, con proposiciones numeradas que se construyen lógicamente una sobre la otra, emulando la rigurosidad y la forma deductiva de las demostraciones matemáticas euclidianas. Es un intento de construir un sistema filosófico completo a partir de premisas básicas, de una manera que recuerda la arquitectura de los 'Elementos'.